谢和平撰写了《分形应用中的数学基础与方法》，该书由科学出版社于1997年出版，在北京发行。

N在J纯数学2002年第2卷第1期第6368页发表

LCG与J Math，1997年，第7卷第1期，第95至105页

周圣武研究了分数布朗运动情形下的幂期权估值问题，其成果发表于大学数学期刊，具体信息为2009年第5期，页码从69到72。

欧辉研究了债券价格随机时重设型熊市认售权证的定价问题，其研究成果发表于湖南师范大学自然科学学报，时间是2011年第六期，文章编号为1620。

刘韶跃探讨了在分数布朗运动背景下混合期权的定价问题，相关研究成果发表于工程数学学报，该期刊在2006年第1期收录了此篇论文

黄志远著述的《随机分析学基础》一书，由科学出版社于北京地区出版发行，出版年份为2001年。

陈良均、朱庆棠合著的《随机过程及其应用》一书，由高等教育出版社出版于2003年，该书主要探讨随机过程的相关理论及其实际应用。

张波，张景肖合著的《应用随机过程》一书由清华大学出版社于2006年出版发行。

当股票处于某种状态时，期刊J，Econ，在1976年第三期发表了相关内容，具体页码为。

周圣武，周长新，李金玉撰写的概率论与数理统计教材，由煤炭工业出版社于北京出版，发行年份是2007年。

布朗运动范文4

关键词：市场有效性；限价委托；布朗运动；首达时

沈根祥，性别男，出生于1964年，籍贯河南许昌，现任上海财经大学经济学院副教授，拥有博士学位，主要研究领域包括资本市场经济计量分析以及金融计量。

分类号属于F830.91，标识码为A，文章编号是1006－1096(2007)03－0135－03，接收日期在2006年11月4日

我国股市是纯限价委托的指令驱动型市场，不允许市价委托，且在价格限制、最小报价单位、开市与闭市规则等方面，都与西方成熟的证券市场存在显著差异，这种纯限价委托的特点为研究限价委托等待时间的分布提供了良好的实践条件。这项研究借助限价单挂单时长变化情况，运用每日快速交易记录来评估市场运作情况，非常独特。

一、两种收益计量的价格过程及其参数关系

资产评估学说往往将股价视为遵循特定随机运动规律的变数。我们阐述了两种各异盈利度测算方式下的价值公式。令P(￡)代表时刻t的证券价值，p(t)=lnP(t)为该证券的对数化市值。理论分析运用价格P(t)的随机变化模型，而参数测算则运用对数价格p(t)的随机变化模型，所以必须先弄清楚价格随机变化模型参数与对数价格随机变化模型参数的关联性。可以通过验证实际股票价格是否遵循随机过程(1)来评估市场效率。

由伊藤公式可知(1)的解为几何布朗运动

P(t) 等于 P(O) 乘以指数部分,指数部分包含括号内内容,括号内首先是 μc 减去 σ2c 除以 2 乘以 t,然后加上 σc 乘以 B(t)

(3)P(O)为价格过程的初始值。

实证分析多选用对数收益，因其更贴合实际收益状况且便于运算。以rt标示股票的对数收益值。在时段(t，t+t)内，股票对数收益值表述为r1(t+t)=p(t+t)-p(t)。当常规收益的绝对值|rc|较小时，常规收益与对数收益两者数值相近。

股票的对数收益变化量记作dp(t)，其中对数平均收益值为μ1，收益的波动性指标为σ2c，并且股票价格的对数形式p(t)遵循特定的随机演化规律

这个表达式描述了某个变量dp(t)的变化规律，它由两部分组成，第一部分是μc乘以时间变量dt的累积，第二部分是σc乘以标准布朗运动B(t)的增量，其中B(t)代表了一个典型的随机游走过程。

由于P(t)=f(p(t))=ep(1)，由伊藤公式得

这个表达式等于μc乘以p乘以t的微分，加上二分之一乘以σ的平方乘以p乘以t的微分，再加上σ乘以p乘以布朗运动的微分，其中p是时间t的函数

通过对比公式一和公式四，可以明确一般盈利与对数盈利的预期比例和波动比例之间的关联性，

μc=μc-σ21／2，σc=σc=σ

(5)

二、限价委托等待时间的分布

1．首达时和委托等待时间分布

初次抵达是指随机函数从起始位置出发首次触及某个情形所需经过的时长。设Tx为随机函数X(t)从起点X0出发首次碰触到X（且X小于X0）的时刻，也就是Tx等于在t大于零的前提下，X(t)小于等于x并且X(0)等于x0的最大值。这个时刻显然是一个停止时刻，并且

和(1997)通过鞅方法给出了带漂移布朗运动首达时的分布。

设W(t)，t属于从w0出发，漂移系数为v，扩散系数为σ的随机游走过程

W(t)等于w0加上vt再加上σ乘以B(t)，W在O时等于w0，其中B(t)是标准布朗运动几何布朗运动，把τ定义为W(t)从w0开始第一次碰到0的时刻

当时间在某个区间内取值且函数值为零时，这个区间趋于无穷大，那么这个函数就是标准正态分布的累积分布函数。

τ在定理里也可以理解为漂移项为vt的随机过程W(t)=vt+σB(t)从零点初次触及负值-w0所需经过的时刻。

深圳和上海股票市场在交易开始后的买卖活动采用连续竞价方式。系统将收到的交易要求依据购买或出售意向划分为两个序列，一个记录买入需求，一个记录卖出需求。排序过程遵循价格高低和时间先后两个标准，价格方面，买方序列中报价越高的优先权越大，卖方序列中报价越低的优先权越大。当卖方给出的最低价格低于买方设定的最高价格时，排名靠前的买卖要求将首先得到匹配并完成交易。不然就再等等。利用随机过程首达时刻来刻画限价委托的等待时长：若市场价位低于（高于）或恰好等于买入（卖出）的指定价位，就说明委托已经成交了。以买入指令为例：假定指令价格为pb，下达时间为t0，在t0时刻市场成交价格为P(t0)=p0，且p0大于pb，设T(pb)为该指令被执行所需等待时长。指令在t0+t时刻完成执行，相当于股价进程在t0+t时刻首次跌至或等于买入指令价格pb。由此可知

W(t)由两部分组成，第一部分是线性增长项，第二部分是随机波动项，整体初始值为零，增长速率为v，即μc-σ2c/2，波动项与布朗运动B(t)相关，其中σc是波动系数。第1个和第5个公式可以从第6个公式推导得出，第4个公式基于布朗运动的马尔可夫性质建立，第6个公式则依据第7个公式得出。

根据公式四和正态分布的函数特性φ负x等于一减φx，可以推断出等待时间T在Ph值下的分布情况

2．参数估计

以购买指令为例。根据(8)公式可知，购买指令等待时间的分布包含两个参数：μt系数和σt系数，分别代表股票对数收益的平均值与偏差值。鉴于涉及连续时间框架，参数测算时，抽样时间跨度需尽可能压缩小(Ait-，2005)。运用每日高频交易数据，把一个交易日分割成N等份的时段

ti=1，ti

，以i-1，2，…，N为序号，定义ri为第i个时段内对数收益的差值，即lnP(ti)与InP(ti-1)相减的结果，设π为计量时间的基本单位，例如1分钟或半分钟几何布朗运动，τ表示每个时段的时长，由ti-ti-1除以π得到，它代表时段内包含的时间单位数量，根据此设定，参数μc和σ2在时间间隔为π条件下的极大似然估值方法如下

三、市场有效性检验

根据前提条件，公式八提供了下单完成所需时长的概率分布，鉴于我国股市采用当日有效委托机制，次日失效，所以若等待时长超出某个阈值T，则该单将无法最终达成交易，因此，现有分布模型需以这一特性为基础，要获取准确的时间分布函数，就必须对公式八进行修正，显而易见

FT的值为1减去正无穷处的φ值，再加上负无穷处的φ值，这个值等于零，其中负无穷处的φ值等于 Pb除以P0的平方乘以μ除以σ的平方

等待时间的分布函数为

T(Pb)对应的分布函数记作F(t)，那么由F(T(Pc))定义的随机变量U遵循标准均匀分布规律。针对获得的L个委托等待时间样本T1，T2，…，TL，运用皮尔逊分布函数检验手段，检测U=F(T(Pb))是否满足均匀分布特性，借此判定市场运行效率是否达标。若否定初始假定，表明股价变动并非遵循前述随机模型，市场缺乏效率，反之则视作市场有效。

四、实证分析

本研究利用CSMAR中国股市研究资料库所载的股票即时高频交易资料，每条资料不仅载有交易进行时刻、当日起始价格等资讯，亦包含买方与卖方各一至五的挂单价位和挂单数，以及交易实际发生的时间点时间计量以秒为准，每日交易时段中，上午的记录时间跨度是从09:30持续到11:30，下午的记录时间跨度是从13:00持续到15:00。此项研究选取的数据来源于上海市场，具体日期范围覆盖了2004年1月20日至2004年6月30日。

从上海50指数的成分股里，随机选出10支股票，占比是二十分之一，它们的证券代号是若干个数字，具体为这些号码。为了精确计算收益留学之路，先要算出较长周期内的对数收益，再把这个收益数值除以周期时长，单位是分钟，这样就能得出每分钟的均值收益。为了这个目的，把每一天的交易时段划分成16个连续的15分钟单元，每个单元都要算出对数收益，接着依据公式九求出每分钟对数收益的平均值和波动幅度，还要先估算出每天的具体参数，再进行汇总，最终的统计数据显示在表一里面

根据估算数据可知，该股票在一天内的每分钟收益极微，具体数值达到10的负五次方，而与之相匹配的标准差也非常小，数值为10的负四次方，这表明在所选取的时间段内，股票价格波动幅度有限。

因为收益跟标准差都是按分钟来算的，所以(10)式中分布函数的自变量￡要用分钟做单位。T(Pb)的数值在0到240分钟之间，也就是4个小时。本文通过这种方式确定等待时长：当时刻t1的成交价高于（低于）买方（卖方）第一份委托的价位时，就把这个时刻视为买方（卖方）第一份委托递交的时刻，考虑到价格变动具有马尔可夫特性，等待时间的概率分布仅取决于递交价格、当时成交价以及市场状况，而与递交时间无关，这一前提不会干扰计算，随后第一次出现交易价等于买方（卖方）第一份委托的时刻t2，就是这份委托被执行的时刻，用t2减去t1得到的差值就是等待时长。依据这个准则，计算出在考察期内十支样本股票合计有17289个指令等待时长记录，其中卖方指令等待时长为8747个。将结果代入公式10，求得概率分布函数值。接着把区间划分成十个等长的子区间，根据样本数值落入各子区间的次数构建皮尔逊卡方检验统计量，用以检测数据是否遵循上均匀分布，该统计量的自由度设定为9。

计算十项股票委托的等待时间样本值时，其分布频率极不均衡，在首个区间（0，0．1）以及末尾区间出现的次数最多。检测结果显示，这十支证券的U=F(T(Pb))值并非遵循均匀分布，皮尔逊X2检测的p值均超0.05，张江高科根据委托等待时间算出的U=F(T(Pb))值在这十支证券里最为平均，不过其求得的X2统计量数值也很大，达到X2(9)=276.8，相应的检验p值几乎为1。根据U=F(T(Pb))的观测数据分布状况，绝大多数数值集中在某个区间范围之内，其中位于特定范围段的样本比例最高，其平均值达到了接近七成的水平，由此可以推断，所有十支股票样本的计算分析均能在极显著的统计意义上否定市场有效性的原假设

五、结论

布朗运动范文5

【关键词】随机利率 反射Brown运动 过程 纯保费 年金

一、引言

近些年，保险精算领域里利率的随机性现象，吸引了众多国内与海外学者的研究目光。Perry及其团队运用反射布朗运动来描述随机利率的变动。何文炯等人则借助高斯过程对随机利率进行刻画。王丽燕等研究者将反射布朗运动和泊松过程结合起来，共同构建了随机利率模型，并以此为基础设计了一个生死两全保险方案。

这项研究以既有学术成果为根基，选用反射布朗运动来描述利率的连续波动，借助泊松过程来阐释利率的突发性变动，由此推导出个人纯保费与年金的综合计算方法；此外还获得了在UDD假设条件下的精简计算方案。

二、随机利率模型

假定利息强度函数为：

y（t）=δt+β│B（t）│+γN（t）

其中│B（t）│表示一种随机的反射运动，N（t）代表一种计数过程，δ、β、γ这些数值与时间无关，彼此之间互不干扰。

折现公式是V（t）=e-y（t），也就是在t那个时间点，一元钱的当前价值等于V（t）。由此能够推出

期望值乘以函数V的t次方等于期望值乘以变量e减去函数y的t次方,等于期望值乘以变量e减去常数δ乘以时间t,乘以期望值乘以变量e减去绝对值B的t次方,乘以期望值乘以变量e减去常数γ乘以函数N的t次方

三、个人纯保费及年金的计算

考虑年龄x岁且符合投保条件的个体（x），余命记为T（x）

连续型n年定期死亡险趸交纯保费

连续型终身死亡险趸交纯保费

连续型死亡两全保险趸交纯保费

延期h年的n年定期死亡险趸交纯保费

延期h年的终身死亡险趸交纯保费

延期h年的死亡两全保险趸交纯保费

标准年递增的终身寿险趸交纯保费

连续递增终身寿险趸交纯保费

标准年递减n年期寿险趸交纯保费

设想某个时间点的年金发放额度为1单位，这份年金从某人x岁时启动，这个人能够继续生存的时间长度记作T（x）

连续型终身生存年金

连续型n年定期生存年金

连续型延期h年终身生存年金

四、 UDD假定下个人纯保费及年金的计算

UDD假定，即在每一保单年度内死亡都是均匀发生的，将保期

0，n）平均分成n份，即

0，1），

1，2），…，

n-1，n），对任意t∈

k，k+1），k=0，1，…，n-1，T服从均匀分布，于是

其中，

若某个特定群体中，有ι0位新生儿，那么他们活到x岁的平均人数记作ιx，而他们在x岁到x+n岁这个阶段去世的平均人数记作ndx，由此可见

注意到

（*）

其中，

将（*）式分别带入前面的公式，得

连续型n年定期死亡险趸交纯保费

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布朗运动范文6

摘要对上证指数对数收益率的长期关联性实施了统计分析并构建了对应的统计模型和参数测算，以分数布朗运动来描述股票投资收益的驱动机制，并推导出该模型下股指收益的VaR计算的明确公式，计算分析表明分数布朗运动模型给出的VaR数值要大于传统模型下的VaR数值，这揭示了长期关联特性对股指风险具有显著作用，在相关金融风险产品的风险评估中需要给予充分关注。

长时段内关联性显著； R/S分析指标； 随机游走过程； 风险价值

1引言

长相依性揭示，时间序列中相隔较长时间段的随机变量存在显著的自相关，这表明时间序列分布对起始值的敏感依赖，也凸显了历史数据的关键作用。近些年，人们在汇率、利率、物价指数、股市点位等金融时间数据中频繁观察到这一特征，例如Beran的研究。因此，股市回报是否存在长相依性，已成为现代金融理论研究与实证分析的一个焦点。多数研究采用Hurst提出的R/S统计量进行测算，进而得到Hurst指数，若该指数介于1/2至1之间，便认定所考察的时间序列具有长相依特征。不过，从理论统计学的角度，仅凭简单实证观察就断定时间序列是否存在长相依性，难以令人信服，所以对金融时间序列的长相依性进行严谨的统计假设检验十分关键。于1994年，完成了针对检验时间序列长相依性的R/S统计量的严格假设检验理论，该理论现已成为实证分析长相依性质的有力手段并广受认可。在借鉴该理论的基础上，et al.提出了修正的R/S统计量。同时，已有文献研究发现，部分金融时间序列还表现出自相似的统计特征，比如和Ness的研究。所以，针对金融时间序列所呈现的长相依性和自相似性特点，完成相应的假设检验并探索合适的数学模型进行描述，是非常必要的研究任务。

VaR作为实践中应用广泛的风险衡量手段，在金融风险测算领域吸引了众多学者的研究目光。例如，范英探讨了VaR方法在股市风险管理中的运用及具体操作，其操作方式主要依托于VaR的静态评估。林宇研究了动态的VaR计算方式，叶五一和缪柏其提出了基于分位数的回归模型的VaR计算方案等。本文采用张某某提出的R/S统计量，以及王某某和赵某某改进的R/S统计量，对上证指数进行了实证研究。研究结果显示，上证指数呈现出长程相关性。此外，还运用分数布朗运动对上证指数建立数学模型，并推导出该模型下股指收益的VaR的明确公式。

本文之所以选择对上证指数展开研究，主要有两个方面的考量：首先，当前保险行业与证券行业之间的关联性显著增强，特别是与某些特定指数的关联程度持续加深。例如，近年来快速增长的权益指数年金产品，其运作模式是将养老金回报与某个指数的表现挂钩，同时设定最低收益保障和参与比例，以此吸引那些希望投资但不愿承担过高风险的客户群体。这类产品的核心定价难点在于如何准确评估指数所蕴含的风险。因此，深入探究上证指数未来收益的风险评估方法显得十分关键。其次，从指数构成角度来看，上证指数综合反映了众多股票的运行态势，从统计学角度分析，该指数展现出一定的稳定性特征。大数定律的应用确保了我们的分析结论具有较高的可信度。

4.2长相依性的检验

如果修正R/S分析法里的初始假定上证指数收益序列不具备长记忆特征，那么对立假定就是该序列确实具有长记忆特征。分别求出了在q等于1, 2, 3, 4, 5, 10这些情况下的检验数据。采用前述方法，获得了模型的显著性验证，具体数据展示在表1。从表1的数据能够非常清晰地判断上证指数的收益率序列否定了初始假定，也就是表明存在长相依现象。而且随着q值的提升，该序列的Vq统计量显著性程度逐步降低。

5 结论

本文通过R/S分析法测算出上证指数收益率序列的Hurst指数为0.663， 因此上证综合指数呈现出长记忆特征， 根据R/S 统计检验及修正的R/S 统计检验结果， 可以确认在5%的显著性水平上， 上证指数的对数收益率从时间序列角度分析， 其统计特征不同于几何布朗运动， 而分数布朗运动过程更适合表征上证综合指数的统计特征， 因此， 在分数布朗运动的框架下， 推导出了计算股指收益风险价值的解析公式， 并通过计算方法揭示了两种模型下风险价值对时间变化的差异性表现， 计算结果证实长记忆特性对风险价值评估具有显著影响， 具有长记忆特征的金融事件序列， 其股指收益的风险价值要高于传统模型下的股指收益